Trong mặt phẳng tọa độ, một thiết bị âm thanh được phát từ vị trí $ A\left ( { 2;3 } \right ) $. Người ta dự định đặt một máy thu tín hiệu trên đường thẳng Δ có phương trình $ x-y-3=0 $. Biết rằng máy thu đặt tại vị trí $ M\left ( { a;b } \right ) $ sẽ nhận được tín hiệu sớm nhất. Giá trị của biểu thức $ S=a+2025b $ là bao nhiêu?

Lời giải Để máy thu nhận được tín hiệu sớm nhất, máy thu phải đặt tại điểm M trên đường thẳng Δ sao cho khoảng cách AM là nhỏ nhất. Khoảng cách này chính là độ dài đoạn vuông góc hạ từ A xuống Δ. 1.Tìm phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với Δ. Đường thẳng Δ có VTPT là $ \overset\rightarrow { n }\left ( { 1;-1 } \right ) $. Vậy VTPT của đường thẳng đi qua $ A\left ( { 2;3 } \right ) $ và vuông góc với Δ là $ \overset\rightarrow { n }\left ( { 1;1 } \right ) $. Phương trình đường thẳng này là: $ x+y-5=0 $. 2.Tọa độ giao điểm M của hai đường thẳng là nghiệm của hệ pt: $ \left \{ \begin{array}{l} x-y-3=0 \\ x+y-5=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{ \begin{array}{l} x=4 \\ y=1 \end{array} \right. $ Vậy tọa độ của M là $ M\left ( { 4;1 } \right )⇒\left \{ \begin{array}{l} a=4 \\ b=1 \end{array} \right.⇒a+2025b=4+2025.1=2029 $