Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $, cho đường thẳng $ \left ( { d } \right ):\,mx+\left ( { 2m-1 } \right )y-3m+2=0 $.

a) Đúng. Với $ m=1 $ thì đường thẳng $ d $ có phương trình dạng $ x+y-1=0 $ và song song với đường thẳng $ 3x+3y+2023=0 $. b) Sai. Với $ m=\frac { 1 } { 7 } $ thì đường thẳng $ d $ có phương trình dạng $ \frac { 1 } { 7 }x-\frac { 5 } { 7 }y+\frac { 11 } { 7 }=0 $ $ ⇔x-5y+11=0 $. Suy ra $ d $ không vuông góc với đường thẳng $ 5x-3y+2024=0. $ c) Sai. Đường thẳng $ d $ có vectơ pháp tuyến là $ \overset\rightarrow { n_{ d } }=\left ( { m;2m-1 } \right ) $; đường thẳng $ d_{ 1 } :y=-x+1 $ $ ⇔x+y-1=0 $ có vectơ pháp tuyến là $ \overset\rightarrow { n_{ 1 } }=\left ( { 1;1 } \right ) $. Gọi $ α $ là góc giữa hai đường thẳng $ d $ và $ d_{ 1 } $. Khi đó $ \cosα=\frac { \left | { \overset\rightarrow { n_{ d } }.\overset\rightarrow { n_{ 1 } } } \right | } { \left | { \overset\rightarrow { n_{ d } } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { n_{ 1 } } } \right | }=\frac { \left | { 3m-1 } \right | } { \sqrt[] { m ^ { 2 } +\left ( { 2m-1 } \right ) ^ { 2 } }.\sqrt[] { 2 } } $. Vì $ α=45° $ nên $ \cosα=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }⇔\frac { \left | { 3m-1 } \right | } { \sqrt[] { 5m ^ { 2 } -4m+1 }.\sqrt[] { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }⇔\left | { 3m-1 } \right |=\sqrt[] { 5m ^ { 2 } -4m+1 } $ $ ⇔9m ^ { 2 } -6m+1=5m ^ { 2 } -4m+1⇔4m ^ { 2 } -2m=0⇔\left[ \begin{array}{l}m=0\\m=\frac { 1 } { 2 }\end{array}\right. $. Vậy có $ 2 $ giá trị của $ m $ thoả mãn, không phải $ 1 $ giá trị. d) Sai. Gọi $ B\left ( { x_{ 0 } ;y_{ 0 } } \right ) $ là điểm cố định mà đường thẳng $ d $ luôn đi qua với mọi $ m $. Ta có $ mx_{ 0 } +\left ( { 2m-1 } \right )y_{ 0 } -3m+2=0,\,∀m⇔m\left ( { x_{ 0 } +2y_{ 0 } -3 } \right )-y_{ 0 } +2=0,\,∀m⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ 0 } +2y_{ 0 } -3=0 \\ -y_{ 0 } +2=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ 0 } =-1 \\ y_{ 0 } =2 \end{array} \right. $. Vậy $ d $ luôn đi qua điểm cố định $ B\left ( { -1;2 } \right ) $. Gọi $ H $ là hình chiếu của $ A $ trên $ d $, ta có $ d\left ( { A,d } \right )=AH≤AB=\sqrt[] { \left ( { 3+1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 5-2 } \right ) ^ { 2 } }=5 $. Dấu bằng xảy ra khi $ H≡B $, tức là $ d⊥AB $; điều này đạt được với $ m=\frac { 4 } { 5 } $. Vậy khoảng cách lớn nhất từ $ A\left ( { 3;5 } \right ) $ đến $ d $ bằng $ 5 $, không phải $ \sqrt[] { 5 } $.