Cho tam giác $ ABC $ có ba đỉnh $ A(-4;1),B(2;4),C(2;-2) $. Trực tâm của tam giác $ ABC $là $ H\left ( { x;y } \right ) $. Khi đó $ 2x+y $ nhận giá trị bằng bao nhiêu ?

Gọi $ H(x;y) $ là trực tâm của $ ΔABC $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} AH⊥BC \\ BH⊥AC \\ \end{array} \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \overset\rightarrow { AH }⋅\overset\rightarrow { BC }=0 \\ \overset\rightarrow { BH }⋅\overset\rightarrow { AC }=0 \\ \end{array} \end{array} \right.(*) $. Ta có $ \overset\rightarrow { AH }=(x+4;y-1),\overset\rightarrow { BC }=(0;-6),\overset\rightarrow { BH }=(x-2;y-4),\overset\rightarrow { AC }=(6;-3) $. Nên $ (*)⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} -6(y-1)=0 \\ 6(x-2)-3(y-4)=0 \\ \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} y=1 \\ 2x-y=0 \\ \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=\frac { 1 } { 2 } \\ y=1 \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} \right. $. Vậy $ 2x+y=2 $.