Trong mặt phẳng tọa độ$ Oxy $, cho tam giác $ ABC $biết$ A\left ( { 4;2 } \right ) $, $ B\left ( { 0;1 } \right ) $và $ C\left ( { 6;-1 } \right ) $. Gọi $ G,H,I $lần lượt là trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $. Giá trị của $ \cos\left ( { \overset\rightarrow { GH },\overset\rightarrow { GI } } \right ) $bằng bao nhiêu?

Ta có $ G $là trọng tâm tam giác $ ABC $nên $ G\left ( { \frac { 10 } { 3 };\frac { 2 } { 3 } } \right ) $. Giả sử $ H\left ( { x_{ H } ;y_{ H } } \right ) $, ta có $ \overset\rightarrow { AH }=\left ( { x_{ H } -4;y_{ H } -2 } \right ),\overset\rightarrow { BC }=\left ( { 6;-2 } \right ),\overset\rightarrow { BH }=\left ( { x_{ H } ;y_{ H } -1 } \right ),\overset\rightarrow { AC }=\left ( { 2;-3 } \right ) $ Vì$ H $là trực tâm nên ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \overset\rightarrow { AH }.\overset\rightarrow { BC }=0 \\ \overset\rightarrow { BH }.\overset\rightarrow { AC }=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} 6.\left ( { x_{ H } -4 } \right )-2.\left ( { y_{ H } -2 } \right )=0 \\ 2.x_{ H } -3.\left ( { y_{ H } -1 } \right )=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} 3x_{ H } -y_{ H } =10 \\ 2x_{ H } -3y_{ H } =-3 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ H } =\frac { 33 } { 7 } \\ y_{ H } =\frac { 29 } { 7 } \end{array} \right.⇒H\left ( { \frac { 33 } { 7 };\frac { 29 } { 7 } } \right ) $ Giả sử $ I\left ( { x_{ I } ;y_{ I } } \right ) $, ta có $ \overset\rightarrow { AI }=\left ( { x_{ I } -4;y_{ I } -2 } \right ),\overset\rightarrow { BI }=\left ( { x_{ I } ;y_{ I } -1 } \right ),\overset\rightarrow { CI }=\left ( { x_{ I } -6;y_{ I } +1 } \right ) $ Vì$ I $là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $nên ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} AI ^ { 2 } =BI ^ { 2 } \\ AI ^ { 2 } =CI ^ { 2 } \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} \left ( { x_{ I } -4 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y_{ I } -2 } \right ) ^ { 2 } =x_{ I } ^ { 2 } +\left ( { y_{ I } -1 } \right ) ^ { 2 } \\ \left ( { x_{ I } -4 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y_{ I } -2 } \right ) ^ { 2 } =\left ( { x_{ I } -6 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y_{ I } +1 } \right ) ^ { 2 } \end{array} \right. \\ ⇔\left \{ \begin{array}{l} 8x_{ I } +2y_{ I } =19 \\ 4x_{ I } -6y_{ I } =17 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ I } =\frac { 37 } { 14 } \\ y_{ I } =-\frac { 15 } { 14 } \end{array} \right.⇒I\left ( { \frac { 37 } { 14 };-\frac { 15 } { 14 } } \right ) $ Khi đó, $ \overset\rightarrow { GH }=\left ( { -\frac { 29 } { 42 };-\frac { 73 } { 42 } } \right ),\overset\rightarrow { GI }=\left ( { \frac { 29 } { 21 };\frac { 73 } { 21 } } \right ) $. Vậy $ \cos\left ( { \overset\rightarrow { GH },\overset\rightarrow { GI } } \right )=\frac { \overset\rightarrow { GH }.\overset\rightarrow { GI } } { GH.GI }=\frac { -\frac { 29 } { 42 }.\frac { 29 } { 21 }-\frac { 73 } { 42 }.\frac { 73 } { 21 } } { \sqrt[] { \left ( { \frac { -29 } { 42 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { -73 } { 42 } } \right ) ^ { 2 } }.\sqrt[] { \left ( { \frac { 29 } { 21 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 73 } { 21 } } \right ) ^ { 2 } } }=-1 $.