Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $, cho $ 4 $ điểm$ A\left ( { 1;\,-1 } \right ),\,B\left ( { 3;0 } \right ),\,\,C\left ( { 1;\,5 } \right ),\,\,D\left ( { 2;4 } \right ) $. Điểm $ M\left ( { a;\,b } \right ) $ di động trên trục $ Ox $ sao cho $ P=\left ( { \overset\rightarrow { MA }.\overset\rightarrow { MB } } \right ) ^ { 2 } +2MB ^ { 2 } +3MC ^ { 2 } -4MD ^ { 2 } $ đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng $ a+b $ bằng bao nhiêu?

Ta có $ 2MB ^ { 2 } +3MC ^ { 2 } -4MD ^ { 2 } =2\left ( { \overset\rightarrow { MA }+\overset\rightarrow { AB } } \right ) ^ { 2 } +3\left ( { \overset\rightarrow { MA }+\overset\rightarrow { AC } } \right ) ^ { 2 } -4\left ( { \overset\rightarrow { MA }+\overset\rightarrow { AD } } \right ) ^ { 2 } \\ =MA ^ { 2 } +2\overset\rightarrow { MA }\left ( { 2\overset\rightarrow { AB }+3\overset\rightarrow { AC }-4\overset\rightarrow { AD } } \right )+2AB ^ { 2 } +3AC ^ { 2 } -4AD ^ { 2 } $ $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 2;1 } \right );\overset\rightarrow { AC }=\left ( { 0;6 } \right );\overset\rightarrow { AD }=\left ( { 1;5 } \right ) ⇒2\overset\rightarrow { AB }+3\overset\rightarrow { AC }-4\overset\rightarrow { AD }=\overset\rightarrow { 0 } $ $ ⇒2MB ^ { 2 } +3MC ^ { 2 } -4MD ^ { 2 } =MA ^ { 2 } +14 $ Suy ra $ P=\left ( { \overset\rightarrow { MA }.\overset\rightarrow { MB } } \right ) ^ { 2 } +MA ^ { 2 } +14=MA ^ { 2 } .MB ^ { 2 } .c{ \rm{ os } } ^ { 2 } \widehat { BMA }+MA ^ { 2 } +14=MA ^ { 2 } \left ( { MB ^ { 2 } .c{ \rm{ os } } ^ { 2 } \widehat { BMA }+1 } \right )+14 $ Gọi $ H $ là hình chiếu của $ A $ lên $ Ox $. Khi đó ta có $ MA≥AH=1 $; Hơn nữa $ MB ^ { 2 } .c{ \rm{ os } } ^ { 2 } \widehat { BMA }+1≥1 $. Do đó $ P≥AH ^ { 2 } +14=15 $ Dấu $ ''='' $ xảy ra khi $ \left \{ \begin{array}{l} MA⊥MB \\ M≡H \end{array} \right.⇒M\left ( { 1;\,0 } \right ) $. Do đó $ a+b=1 $.