Trong mặt phẳng tọa độ $ \left ( { Oxy } \right ) $cho hai điểm $ A\left ( { 8;-16 } \right ),\,B\left ( { -2;4 } \right ) $. Gọi điểm $ M\left ( { 0;b } \right ) $là điểm di động trên trục $ Oy $. Tìm $ b $ để biểu thức $ T=6.MA ^ { 2 } +4.MB ^ { 2 } +\left | { 3\overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB } } \right | $ đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi điểm $ I\left ( { x;y } \right ) $thỏa mãn $ 3\overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }=\overset\rightarrow { 0 }⇔\overset\rightarrow { OI }=\frac { 1 } { 5 }\left ( { 3.\overset\rightarrow { OA }+2.\overset\rightarrow { OB } } \right )⇔I\left ( { 4;-8 } \right ) $. Ta có $ T=6.MA ^ { 2 } +4.MB ^ { 2 } +\left | { 3\overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB } } \right |=6.\left ( { \overset\rightarrow { IA }-\overset\rightarrow { IM } } \right ) ^ { 2 } +4.\left ( { \overset\rightarrow { IB }-\overset\rightarrow { IM } } \right ) ^ { 2 } +\left | { 3\left ( { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IA } } \right )+2\left ( { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IB } } \right ) } \right |= \\ 6.IA ^ { 2 } +4.IB ^ { 2 } +10.\overset\rightarrow { IM } ^ { 2 } +5.\left | { \overset\rightarrow { IM } } \right | $ Suy ra để biểu thức $ T $nhỏ nhất khi và chỉ khi $ IM $ngắn nhất $ ⇔M $là hình chiếu của $ I $lên trục $ Oy⇒b=-8 $