Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $, Một đài kiểm soát không lưu đặt ở gốc tọa độ $ O $, đơn vị trên mỗi trục là kilomet. Một máy bay chuyển động theo đường thẳng, bay qua hai vị trí $ A\left ( { -5;5 } \right ) $ và $ B\left ( { 2;6 } \right ) $. Biết rằng khi máy bay đến vị trí điểm $ M\left ( { a;b } \right ) $ thì máy bay gần trạm kiểm soát không lưu nhất. Tính giá trị biểu thức $ 20a-15b $

Máy bay $ M $ chuyển động theo đường thẳng đi qua hai điểm $ A,B $ nên ta có $ M,A,B $ thẳng hàng hay $ \overset\rightarrow { AM }\left ( { a+5;b-5 } \right ),\overset\rightarrow { AB }\left ( { 7;1 } \right ) $ cùng phương Ta có $ \frac { a+5 } { 7 }=\frac { b-5 } { 1 }⇔a-7b=-40 $ (1) Mặt khác ta có khoảng cách từ máy bay đến trạm không lưu là $ OM $, $ OM $nhỏ nhất khi $ M $ là hình chiếu của $ O $ trên $ AB $ hay $ \overset\rightarrow { OM }⊥\overset\rightarrow { AB } $ $ \left ( { M≡H } \right ) $ $ ⇒\overset\rightarrow { OM }.\overset\rightarrow { AB }=0⇒7a+b=0 $ (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} a-7b=-40 \\ 7a+b=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=-\frac { 4 } { 5 } \\ b=\frac { 28 } { 5 } \end{array} \right. $ Vậy $ 20a-15b=-100 $.