Cho điểm $ A\left ( { 1\,;\,2 } \right ) $, $ B\left ( { -5\,;\,-4 } \right ) $. Điểm $ M $ thuộc trục hoành sao cho $ \left | { \overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB } } \right | $ đạtgiá trị nhỏ nhất. Tìm hoành độ của $ M $.

Gọi $ I\left ( { a\,;\,b } \right ) $ thỏa mãn $ \overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }=\overset\rightarrow { 0 }⇔\left \{ \begin{array}{l} \left ( { 1-a } \right )+2\left ( { -5-a } \right )=0 \\ \left ( { 2-b } \right )+2\left ( { -4-b } \right )=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} -3a-9=0 \\ -3b-6=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=-3 \\ b=-2 \end{array} \right.⇒I\left ( { -3\,;\,-2 } \right ) $. Ta có $ \left | { \overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IA }+2\left ( { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IB } } \right ) } \right |=\left | { 3\overset\rightarrow { MI }+\left ( { \overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB } } \right ) } \right |=3MI $. Vậy $ \left | { \overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB } } \right | $ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $ MI $ đạt giá trị nhỏ nhất $ ⇔ $ M là hình chiếu của $ I $ trên trục hoành. Vậy $ M\left ( { -3;\,0 } \right ) $.