Một khinh khí cầu nghiên cứu khí tượng được phóng lên để thu thập dữ liệu trong tầng bình lưu. Khí cầu này có thiết bị định vị sử dụng tín hiệu từ các vệ tinh của công ty S để xác định vị trí trong không gian. Tại thời điểm quan sát, khí cầu đang bay ở độ cao 50 km và nhận được tín hiệu từ ba vệ tinh S có toạ độ trong không gian $ Oxyz $ (đơn vị km) như sau: Vệ tinh A tại vị trí $ A\left ( { 103;\ 204;\ 62 } \right ) $, vệ tinh B tại vị trí $ B\left ( { 106;\ 208;\ 74 } \right ) $, vệ tinh C tại vị trí $ C\left ( { 105;\ 212;\ 134 } \right ) $. Từ thời gian truyền tín hiệu, hệ thống xác định rằng khoảng cách từ vị trí $ M $ của khinh khí cầu đến các vệ tinh là: $ MA=13{ \rm{ km } } $, $ MB=26{ \rm{ km } } $, $ MC=85{ \rm{ km } } $. Tính khoảng cách từ khinh khí cầu đến gốc toạ độ $ O $. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của km).

Gọi $ M\left ( { x;y;z } \right ) $. Ta có: $ MA=13⇔M\in \left ( { S_{ 1 } } \right ) $ là mặt cầu tâm $ A $, bán kính $ R_{ 1 } =13 $ $ ⇒x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -206x-408y-124z+55900=0{ \rm{ } }\left ( { 1 } \right ) $ $ MB=26⇔M\in \left ( { S_{ 2 } } \right ) $ là mặt cầu tâm $ B $, bán kính $ R_{ 2 } =26 $ $ ⇒x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -212x-416y-148z+59300=0{ \rm{ } }\left ( { 2 } \right ) $ $ MC=85⇔M\in \left ( { S_{ 3 } } \right ) $ là mặt cầu tâm $ C $ bán kính $ R_{ 3 } =85 $ $ ⇒x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -210x-424y-268z+66700=0{ \rm{ } }\left ( { 3 } \right ) $ Lấy $ \left ( { 2 } \right ) $ trừ $ \left ( { 1 } \right ) $ ta được $ 6x+8y+24z-3400=0 ⇔3x+4y+12z-1700=0{ \rm{ } }\left ( { 4 } \right ) $ Lấy $ \left ( { 2 } \right ) $ trừ $ \left ( { 3 } \right ) $ ta được $ 2x-8y-120z+7400=0 ⇔x-4y-60z+3700=0{ \rm{ } }\left ( { 5 } \right ) $ Nhận xét các phương trình $ \left ( { 4 } \right ) $ và $ \left ( { 5 } \right ) $ đều là phương trình mặt phẳng. Suy ra điểm $ M $ thuộc giao tuyến $ d $ của hai mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):3x+4y+12z-1700=0 $ và $ \left ( { Q } \right ):x-4y-60z+3700=0 $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} n_{ \left ( { P } \right ) } =\left ( { 3;4;12 } \right ) \\ n_{ \left ( { Q } \right ) } =\left ( { 1;-4;-60 } \right ) \end{array} \right. ⇒u_{ d } =\left[ n_{ \left ( { P } \right ) } ,n_{ \left ( { Q } \right ) } \right]=\left ( { -192;\ 192;\ -16 } \right )=-16\left ( { 12;\ -12;\ 1 } \right ) $ Chọn điểm $ T\left ( { -500;800;0 } \right ) $ vừa thuộc $ \left ( { P } \right ) $, vừa thuộc $ \left ( { Q } \right )⇒T\in d $ Phương trình tham số của $ d $ là $ \left \{ \begin{array}{l} x=-500+12t \\ y=800-12t \\ z=t \end{array} \right.{ \rm{ } }\left ( { t\in \mathbb{R} } \right ) $. Mà $ M\in d⇒M\left ( { -500+12m;\ 800-12m;\ m } \right ) $ với $ m\in \mathbb{R} $. Thay $ \left ( { x;\ y;\ z } \right )=\left ( { -500+12m;\ 800-12m;\ m } \right ) $vào phương trình $ \left ( { 1 } \right ) $ ta được $ \left ( { 12m-500 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 800-12m } \right ) ^ { 2 } +m ^ { 2 } =206\left ( { 12m-500 } \right )+408\left ( { 800-12m } \right )+124m-55900 $ $ ⇔289m ^ { 2 } -28900m+722500=0⇔m=50 $. Vậy toạ độ $ M $ là $ M\left ( { 100;\ 200;\ 50 } \right )⇒OM=50\sqrt[] { 21 }≈229{ \rm{ km } } $.