Trong một khung lưới ô vuông gồm các hình lập phương, người ta đưa ra một cách kiểm tra bốn nút lưới (đỉnh hình lập phương) bất kì có đồng phẳng hay không bằng cách gắn hệ trục toạ độ $ Oxyz $ vào khung lưới ô vuông và lập phương trình mặt phẳng đi qua ba nút lưới trong bốn nút lưới đã cho. Giả sử có ba nút lưới mà toạ độ lần lượt là $ (1;1;10),(4;3;1),(3;2;5) $ và mặt phẳng đi qua ba nút lưới đó có phương trình $ x+my+nz+p=0 $. Giá trị của $ m+n+p $ là bao nhiêu?

Xét các điểm $ A(1;1;10),B(4;3;1),C(3;2;5) $. Khi đó, ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \overset\rightarrow { AB }=(3;2;-9) \\ \overset\rightarrow { AC }=(2;1;-5) \\ \end{array} ⇒[\overset\rightarrow { AB },\overset\rightarrow { AC }]=(-1;-3;-1) \end{array} \right. $. Gọi $ n $ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm $ A,B,C $. Chọn $ n=(1;3;1) $. Suy ra phương trình của mặt phẳng đi qua ba nút lưới là $ 1⋅(x-1)+3⋅(y-1)+1⋅(z-10)=0⇔x+3y+z-14=0 $ Vậy $ m=3,n=1,p=-14 $ nên $ m+n+p=-10 $.