Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt $OAGD⋅BCFE$ có hai đáy song song với nhau. Mặt sân $OAGD$ là hình chữ nhật và được gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân $OAGD$ có chiều dài $OA=100m$, chiều rộng $OD=60m$ và tọa độ điểm $B(10; 10; 8)$. Giả sử phương trình tổng quát của mặt phẳng $(OACB)$ có dạng $ax + y + cz + d = 0$. Tính giá trị biểu thức $4(a + c + d)$.

Lời giải Từ giả thiết, ta có $O(0; 0; 0), B(10; 10; 8), A(100; 0; 0)$. Ta có các vectơ: $$ \vec{OA} = (100; 0; 0), \quad \vec{OB} = (10; 10; 8) $$ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(OACB)$ là: $$ \vec{n} = [\vec{OA}, \vec{OB}] = (0; -800; 1000) = -200(0; 4; -5) $$ Phương trình mặt phẳng $(OACB)$ là: $$ 0(x - 0) + 4(y - 0) - 5(z - 0) = 0 \Leftrightarrow 4y - 5z = 0 $$ Chia cả hai vế cho 4: $$ y - \frac{5}{4}z = 0 \Leftrightarrow 0x + y - 1,25z + 0 = 0 $$ Vậy $a = 0, c = -1,25, d = 0$. Giá trị biểu thức $4(a + c + d) = 4(0 - 1,25 + 0) = -5$.