Hình ảnh bên minh hoạ một cánh cửa hình chữ nhật có chiều rộng 1 m và chiều cao 2 m khi đang mở. Chọn hệ toạ độ như hình vẽ, biết cánh cửa tạo với bức tường một góc $ 30 ^ { ° } $, bờ tường vuông góc với mặt sàn. Bỏ qua bề dày của cánh cửa thì phương trình mặt phẳng chứa cánh cửa là $ x+by+cz+d=0 $. Tính giá trị $ 9b ^ { 2 } +3c ^ { 2 } +d $.

Giả sử $ (H):x+by+cz+d=0 $. Vì ta đã có dạng của phương trình mặt phẳng chứa cánh cửa (chứa 3 ẩn $ b,c,d $) nên để viết được phương trình mặt phẳng $ (H) $, ta cần đi tìm được 3 điểm thuộc mặt phẳng đó. Ta vẽ lại hình như và kí hiệu các điểm như hình sau: Với $ A,B,O $ là các điểm thuộc mặt phẳng $ (H) $. Kẻ $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} BM⊥Oy \\ BN⊥Ox \\ \end{array} \end{array} \right. $. Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng cần tìm đi qua các điểm $ A(0;0;2),O(0;0;0),B(BM;-OM;0) $. Trong tam giác $ OBM $ vuông tại $ M $, ta có $ \cos \widehat { BOM }=\frac { OM } { OB }⇒OM=OB⋅\cos \widehat { BOM }=1⋅\cos30 ^ { ° } =\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } \\ \sin \widehat { BOM }=\frac { BM } { OB }⇒BM=OB⋅\sin \widehat { BOM }=1⋅\sin30 ^ { ° } =\frac { 1 } { 2 } $ Suy ra $ B\left ( { \frac { 1 } { 2 };-\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 };0 } \right ) $. Vì$ A(0;0;2),O(0;0;0),B\left ( { \frac { 1 } { 2 };-\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 };0 } \right ) $ đều thuộc mặt phẳng $ (H) $ nên ta có hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 2c+d=0 \\ d=0 \\ \frac { 1 } { 2 }-\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }b+d=0 \\ \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} c=0 \\ d=0 \\ b=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } } \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. $. Vậy $ 9b ^ { 2 } +3c ^ { 2 } +d=9⋅\left ( { \frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } } } \right ) ^ { 2 } =3 $.