Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $, gọi $ (P) $ là mặt phẳng đi qua $ M(2;2;1) $ và cắt các tia $ Ox,Oy,Oz $ lần lượt tại $ A,B,C $ sao cho $ OA=2OB=2OC $. Phương trình mặt phẳng $ (P) $ là $ x+by+cz+d=0 $. Tính $ b ^ { 2 } +c ^ { 2 } +d ^ { 2 } $ ?

Gọi $ A(k;0;0),B(0;n;0) $ và $ C(0;0;m) $ với $ k,n,m>0 $. Phương trình mặt phẳng $ (P) $ là $ \frac { x } { k }+\frac { y } { n }+\frac { z } { m }=1 $. Mà $ M(2;2;1)\in (P) $ suy ra $ \frac { 2 } { k }+\frac { 2 } { n }+\frac { 1 } { m }=1 $. Mà $ OA=2OB=2OC⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \\|k\\|=2\\|n\\| \\ \\|k\\|=2\\|m\\| \\ \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} k=2n \\ k=2m \\ \end{array} ⇔n=m=\frac { k } { 2 } \end{array} \right. \end{array} \right. $. Khi đó $ \frac { 2 } { k }+\frac { 4 } { k }+\frac { 2 } { k }=1⇔\frac { 8 } { k }=1⇔k=8⇒n=m=4⇒(P):\frac { x } { 8 }+\frac { y } { 4 }+\frac { z } { 4 }=1⇔x+2y+2z-8=0 $. Vậy $ b ^ { 2 } +c ^ { 2 } +d ^ { 2 } =2 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +8 ^ { 2 } =72 $.