Cho tam giác $ ABC $; lấy điểm $ M,\ N,\ E $ sao cho $ \overset\rightarrow { BM }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { BC } $,$ \overset\rightarrow { AN }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC } $, $ \overset\rightarrow { AE }=\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB } $. Với $ a $ là số thực, điểm $ I $ thõa mãn $ \overset\rightarrow { AI }=a\overset\rightarrow { AM } $ và ba điểm $ I,\ N,\ E $ thẳng hàng. Khi đó giá trị của $ a $ là? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Ta có: $ \overset\rightarrow { AM }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC } $. $ \overset\rightarrow { AI }=a\overset\rightarrow { AM }=a\left ( { \frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC } } \right )=\frac { a } { 2 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { a } { 2 }\overset\rightarrow { AC } $. $ \overset\rightarrow { EN }=\overset\rightarrow { AN }-\overset\rightarrow { AE }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC }-\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB } $. $ \overset\rightarrow { EI }=\overset\rightarrow { AI }-\overset\rightarrow { AE }=\left ( { \frac { a } { 2 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { a } { 2 }\overset\rightarrow { AC } } \right )-\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }=\left ( { \frac { a } { 2 }-\frac { 1 } { 3 } } \right )\overset\rightarrow { AB }+\frac { a } { 2 }\overset\rightarrow { AC } $. Vì ba điểm $ I,\ N,\ E $ thẳng hàng nên tồn tại số thực $ k $ sao cho: $ \overset\rightarrow { EI }=k\overset\rightarrow { EN } $ $ ⇔\left ( { \frac { a } { 2 }-\frac { 1 } { 3 } } \right )\overset\rightarrow { AB }+\frac { a } { 2 }\overset\rightarrow { AC }=k\left ( { \frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC }-\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB } } \right )⇔\left \{ \begin{array}{l} \frac { a } { 2 }-\frac { 1 } { 3 }=\frac { k } { 2 } \\ \frac { a } { 2 }=-\frac { k } { 3 } \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=\frac { 4 } { 15 } \\ k=\frac { -2 } { 5 } \end{array} \right. $. Vậy $ a=\frac { 4 } { 15 }≈0,27 $.