Cho tam giác $ ABC $. Gọi $ M $,$ N $ lần lượt là các điểm thuộc cạnh $ AB $ và $ AC $ thỏa mãn biểu thức $ \overset\rightarrow { MB }=-2\overset\rightarrow { MA } $,$ \overset\rightarrow { NA }=-2\overset\rightarrow { NC } $. Đường thẳng $ MN $cắt $ BC $ tại $ P $ và biết $ \overset\rightarrow { PB }=k\overset\rightarrow { PC } $. Khi đó giá trị của $ k $ bằng bao nhiêu?

Dựng $ CK $ và gọi $ K $ là một điểm thuộc $ PM $. Ta có $ \frac { PC } { PB }=\frac { KC } { MB }=\frac { KC } { 2MA } $ mà $ \frac { KC } { MA }=\frac { NC } { NA }=\frac { 1 } { 2 } $ nên suy ra $ \frac { PC } { PB }=\frac { 1 } { 4 } $. Mặt khác $ \overset\rightarrow { PC } $ và $ \overset\rightarrow { PB } $ cùng hướng nên $ \overset\rightarrow { PB }=4\overset\rightarrow { PC } $. Vậy $ k=4 $.