Cho tam giác $ ΔABC $ có các điểm $ M\,,\,N\,,\,P $ lần lượt thuộc các cạnh $ AB $, $ AC $, $ BC $ sao cho $ \overset\rightarrow { AM }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { MB }\,\,\,\,\overset\rightarrow { AN }=\overset\rightarrow { NC }\,\,\,\,\overset\rightarrow { BP }=-2\overset\rightarrow { PC } $. Xét tính đúng sai trong các mệnh đề sau

a) Đúng. Ta có $ \overset\rightarrow { AN }=\overset\rightarrow { NC } $ suy ra $ N $ ở giữa $ AC $ và $ AN=NC $nên $ N $ là trung điểm của $ AC $ b) Đúng. Ta có $ \overset\rightarrow { AM }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { MB }⇒\overset\rightarrow { AM }=\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB } $,$ \overset\rightarrow { AN }=\overset\rightarrow { NC }⇒\overset\rightarrow { AN }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC } $ $ \overset\rightarrow { MN }=\overset\rightarrow { AN }-\overset\rightarrow { AM }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC }-\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB } $ c) Sai. Ta có $ \overset\rightarrow { BP }=-2\overset\rightarrow { PC }⇒\overset\rightarrow { BP }=2\overset\rightarrow { BC } $ $ \overset\rightarrow { MP }=\overset\rightarrow { MB }+\overset\rightarrow { BP }=\overset\rightarrow { MB }+2\overset\rightarrow { BC }=\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }+2\overset\rightarrow { AC }-2\overset\rightarrow { AB }=2\overset\rightarrow { AC }-\frac { 4 } { 3 }\overset\rightarrow { AB } $ d) Đúng. Ta có $ \overset\rightarrow { MN }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC }-\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }⇔6\overset\rightarrow { MN }=3\overset\rightarrow { AC }-2\overset\rightarrow { AB } $ $ \overset\rightarrow { MP }=2\overset\rightarrow { AC }-\frac { 4 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }=\frac { 2 } { 3 }\left ( { 3\overset\rightarrow { AC }-2\overset\rightarrow { AB } } \right )=\frac { 2 } { 3 }6\overset\rightarrow { MN }=4\overset\rightarrow { MN } $ Suy ra ba điểm$ M,\,N,\,P $ thẳng hàng.