Cho hình bình hành $ ABCD $ và điểm $ M $ là trung điểm cạnh $ AB $, các điểm $ N,P,\,R,\,S $thoả mãn $ \overset\rightarrow { AN }=\frac { 1 } { 6 }\overset\rightarrow { AC }\,\,\,\,\,\overset\rightarrow { AP }=\frac { 1 } { 4 }\overset\rightarrow { AD }\,\,\,\,\,\,3\overset\rightarrow { AR }+\overset\rightarrow { AD }=\overset\rightarrow { 0 }\,\,\,\,\,\,3\overset\rightarrow { BS }=2\overset\rightarrow { BD } $. Khi đó:

a) Đúng. Ta có $ \overset\rightarrow { AN }=\frac { 1 } { 6 }\overset\rightarrow { AC }=\frac { 1 } { 6 }\left ( { \overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AD } } \right ) $. b) Sai. $ \overset\rightarrow { MN }=\overset\rightarrow { AN }-\overset\rightarrow { AM }=\frac { 1 } { 6 }\left ( { \overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AD } } \right )-\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AB }=\frac { -1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 6 }\overset\rightarrow { AD } $ c) Đúng. $ \overset\rightarrow { MP }=\overset\rightarrow { AP }-\overset\rightarrow { AM }=\frac { 1 } { 4 }\overset\rightarrow { AD }-\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AB } $ Ta có $ \overset\rightarrow { MN }=\frac { 1 } { 6 }\left ( { \overset\rightarrow { AD }-2\overset\rightarrow { AB } } \right )=\frac { 1 } { 6 }⋅4⋅\frac { 1 } { 4 }\left ( { \overset\rightarrow { AD }-2\overset\rightarrow { AB } } \right )=\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { MP } $. Suy ra $ \overset\rightarrow { MN },\overset\rightarrow { MP } $ cùng phương. Vậy ba điểm $ M,N,P $ thẳng hàng. d) Đúng. Ta có $ \overset\rightarrow { RN }=\overset\rightarrow { AN }-\overset\rightarrow { AR }=\frac { 1 } { 6 }\overset\rightarrow { AC }+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AD } =\frac { 1 } { 6 }\left ( { \overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AD } } \right )+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AD }=\frac { 1 } { 6 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AD } $ $ \overset\rightarrow { RS }=\overset\rightarrow { AS }-\overset\rightarrow { AR }=\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { BS }+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AD }=\overset\rightarrow { AB }+\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { BD }+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AD } $ $ =\overset\rightarrow { AB }+\frac { 2 } { 3 }\left ( { \overset\rightarrow { AD }-\overset\rightarrow { AB } } \right )+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AD }=\overset\rightarrow { AD }+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }=2\left ( { \frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AD }+\frac { 1 } { 6 }\overset\rightarrow { AB } } \right )=2\overset\rightarrow { RN } $ Vậy ba điểm $ R,N,S $ thẳng hàng. Suy ra Ba đường thẳng $ AC,RS,MP $ đồng quy.