Cho hình bình hành $ ABCD $, tâm $ O $. Gọi $ M,N $ theo thứ tự là trung điểm của $ AB,CD $ và $ P $ là điểm thỏa mãn hệ thức: $ \overset\rightarrow { OP }=-\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { OA } $. Khi đó:

a) Sai. Khi đó: $ 3\overset\rightarrow { AP }-2\overset\rightarrow { AC }=3\left ( { \overset\rightarrow { AO }+\overset\rightarrow { OP } } \right )-2.2\overset\rightarrow { AO }=\overset\rightarrow { OA }+3\overset\rightarrow { OP }=0 $. b) Đúng.Vì $ \overset\rightarrow { OP }=-\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { OA }⇒3\overset\rightarrow { OP }=-\overset\rightarrow { OA }⇒\overset\rightarrow { OA }+3\overset\rightarrow { OP }=0 $. c) Sai. Ta có: $ \overset\rightarrow { OP }=-\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { OA }=\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { OC }⇒P $ là trọng tâm của tam giác $ BCD $, Do vậy trung tuyến $ BN $ của tam giác $ BCD $ đi qua trọng tâm $ P $ đó. Vậy ba điểm $ B,P,N $ thẳng hàng. d) Đúng. Nhận xét: $ AC $ và $ BD $ cắt nhau tại tâm $ O $ là trung điểm của mỗi đường. Mặt khác $ \overset\rightarrow { OM }+\overset\rightarrow { ON }=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \overset\rightarrow { OA }+\overset\rightarrow { OB } } \right )+\frac { 1 } { 2 }\left ( { \overset\rightarrow { OC }+\overset\rightarrow { OD } } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \overset\rightarrow { OA }+\overset\rightarrow { OC } } \right )+\frac { 1 } { 2 }\left ( { \overset\rightarrow { OB }+\overset\rightarrow { OD } } \right )=0 $. Do đó $ O $ là trung điểm của $ MN $ hay $ AC,BD,MN $ đồng quy tại $ O $.