Cho tam giác $ ABC $. Trên cạnh $ AB $ lấy điểm $ M $ sao cho $ 2BA=5BM $. Gọi $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $. Gọi $ N $ là điểm trên $ AC $ sao cho $ AN=xAC $. Tìm $ x $, biết ba điểm $ M,N,G $ thẳng hàng.

Ta có $ +\,\overset\rightarrow { MG }=\overset\rightarrow { AG }-\overset\rightarrow { AM }=\frac { 1 } { 3 }(\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AC })-\frac { 3 } { 5 }\overset\rightarrow { AB }=\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AC }-\frac { 4 } { 15 }\overset\rightarrow { AB } \\ +\,\overset\rightarrow { MN }=\overset\rightarrow { AN }-\overset\rightarrow { AM }=x\overset\rightarrow { AC }-\frac { 3 } { 5 }\overset\rightarrow { AB } $ + Do $ M,N,G $ thẳng hàng nên $ \overset\rightarrow { MN }=k\overset\rightarrow { MG }⇒\frac { x } { \frac { 1 } { 3 } }=\frac { -\frac { 3 } { 5 } } { -\frac { 4 } { 15 } }⇒3x=\frac { 9 } { 4 }⇒x=\frac { 3 } { 4 } $