Cho hình bình hành $ ABCD $ với $ M $ là trung điểm của cạnh $ AB $. Các điểm $ N,P $ là các điểm thoả mãn $ \overset\rightarrow { AN }=\frac { 1 } { 6 }\overset\rightarrow { AC } $, $ \overset\rightarrow { AP }=\frac { 1 } { 4 }\overset\rightarrow { AD } $.

a) Đúng. Ta có: $ \overset\rightarrow { AN }=\frac { 1 } { 6 }\overset\rightarrow { AC }=\frac { 1 } { 6 }(\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AD }) $. b) Sai. Ta có: $ \overset\rightarrow { MN }=\overset\rightarrow { AN }-\overset\rightarrow { AM }=\frac { 1 } { 6 }(\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AD })-\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AB }=-\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 6 }\overset\rightarrow { AD } $. c) Đúng. Theo hình vẽ ta thấy ba đường thẳng $ AN $, $ BM $, $ DP $ cùng đi qua điểm $ A $. Vậy ba đường thẳng $ AN $, $ BM $, $ DP $ đồng quy. d) Đúng. Ta có: $ \overset\rightarrow { MP }=\overset\rightarrow { AP }-\overset\rightarrow { AM }=\frac { 1 } { 4 }\overset\rightarrow { AD }-\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AB } $ hay $ 4\overset\rightarrow { MP }=\overset\rightarrow { AD }-2\overset\rightarrow { AB } $ (1). Mặt khác: $ \overset\rightarrow { MN }=-\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 6 }\overset\rightarrow { AD } $ hay $ 6\overset\rightarrow { MN }=-2\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AD } $ (2). Từ (1) và (2) suy ra: $ 4\overset\rightarrow { MP }=6\overset\rightarrow { MN }⇔\overset\rightarrow { MN }=\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { MP } $. Khi đó hai vectơ $ \overset\rightarrow { MN },\,\,\overset\rightarrow { MP } $ cùng phương. Do đó ba điểm $ M,N,P $ thẳng hàng.