Cho $ ΔABC $. Gọi $ I $, $ J $ là 2 điểm thỏa $ \overset\rightarrow { IA }+3\overset\rightarrow { IC }=0 $, $ \overset\rightarrow { JA }+2\overset\rightarrow { JB }+3\overset\rightarrow { JC }=0 $. Khi đó $ \overset\rightarrow { BI }=k\overset\rightarrow { BJ } $. Với $ k=\frac { m } { n } $, là phân số tối giản. Tính $ P=m+n $.

Ta có $ \overset\rightarrow { IA }+3\overset\rightarrow { IC }=0⇔-\overset\rightarrow { AI }+3\left ( { \overset\rightarrow { AC }-\overset\rightarrow { AI } } \right )=0⇔4\overset\rightarrow { AI }=3\overset\rightarrow { AC }⇔\overset\rightarrow { AI }=\frac { 3 } { 4 }\overset\rightarrow { AC }. $ Ta lại có $ \overset\rightarrow { JA }+2\overset\rightarrow { JB }+3\overset\rightarrow { JC }=0⇔\overset\rightarrow { BA }-\overset\rightarrow { BJ }-2\overset\rightarrow { BJ }+3(\overset\rightarrow { BC }-\overset\rightarrow { BJ })=0⇔\overset\rightarrow { BA }-\overset\rightarrow { BJ }-2\overset\rightarrow { BJ }+3\overset\rightarrow { BC }-3\overset\rightarrow { BJ }=0⇔6\overset\rightarrow { BJ }=\overset\rightarrow { BA }+3\overset\rightarrow { BC } $ $ ⇔6\overset\rightarrow { BJ }=-\overset\rightarrow { AB }+3(\overset\rightarrow { AC }-\overset\rightarrow { AB })⇔6\overset\rightarrow { BJ }=-4\overset\rightarrow { AB }+3\overset\rightarrow { AC }⇔\overset\rightarrow { BJ }=-\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC }. $ Mặt khác $ \overset\rightarrow { BI }=\overset\rightarrow { AI }-\overset\rightarrow { AB }=\frac { 3 } { 4 }\overset\rightarrow { AC }-\overset\rightarrow { AB }=-\overset\rightarrow { AB }+\frac { 3 } { 4 }\overset\rightarrow { AC }. $ Ta có $ \overset\rightarrow { BI }=k\overset\rightarrow { BJ }(k∈\mathbb{R})⇔-\overset\rightarrow { AB }+\frac { 3 } { 4 }\overset\rightarrow { AC }=k\left ( { -\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC } } \right )⇔\left \{ \begin{array}{l} -1=-\frac { 2 } { 3 }k \\ \frac { 3 } { 4 }=\frac { 1 } { 2 }k \end{array} \right.⇔k=\frac { 3 } { 2 }. $ Vậy $ k=\frac { 3 } { 2 } $ với $ m=3,n=2 $ là phân số tối giản nên $ P=m+n=5. $