Trong không gian với hệ tọa độ $ { \rm{ O } }xyz $, cho $ A\left ( { 4;-2;6 } \right ) $, $ B\left ( { 2;4;2 } \right ) $,$ C\left ( { 1;3;1 } \right ) $ Gọi điểm $ M\in \left ( { Oxz } \right ) $ sao cho $ T=\overset\rightarrow { MA }.\overset\rightarrow { MB }+2\overset\rightarrow { MA }.\overset\rightarrow { MC } $ nhỏ nhất, khi đó tọa độ $ M\left ( { a;b;c } \right ) $. Tính $ P=2a-5b-c $.

Gọi $ I $ là điểm thoả mãn $ 3\overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB }+2\overset\rightarrow { IC }=\overset\rightarrow { 0 } $ ta suy ra $ I\left ( { 16;6;22 } \right ) $. Ta có $ T=\overset\rightarrow { MA }.\overset\rightarrow { MB }+2\overset\rightarrow { MA }.\overset\rightarrow { MC }=\left ( { \overset\rightarrow { MI }+I\overset\rightarrow { A } } \right )\left ( { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IB } } \right )+2\left ( { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IA } } \right )\left ( { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IC } } \right ) $ $ =\overset\rightarrow { MI } ^ { 2 } +\overset\rightarrow { IA }.\overset\rightarrow { IB }+2\overset\rightarrow { IA }.\overset\rightarrow { IC }+\overset\rightarrow { MI }\left ( { 3\overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB }+2\overset\rightarrow { IC } } \right )=MI ^ { 2 } +\overset\rightarrow { IA }.\overset\rightarrow { IB }+2\overset\rightarrow { IA }.\overset\rightarrow { IC } $. Do $ \overset\rightarrow { IA }.\overset\rightarrow { IB }+2\overset\rightarrow { IA }.\overset\rightarrow { IC } $ không đổi nên $ T_{ min } ⇔MI_{ min } ^{ 2 }⇔ $$ M $ là hình chiếu vuông góc của $ I $ trên $ \left ( { Oxz } \right ) $, suy ra $ M\left ( { 16,0,22 } \right ) $$ ⇒a=16;b=0;c=22 $. Vậy $ P=2.16-5.0-22=10 $.