Gọi $ S $là tập hợp các giá trị thực của tham số $ m $ để phương trình $ x ^ { 3 } -\left ( { m+4 } \right )x ^ { 2 } +\left ( { 3+4m } \right )x-3m=0 $ có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân. Số phần tử của $ S $là

Ta có pt $ x ^ { 3 } -\left ( { m+4 } \right )x ^ { 2 } +\left ( { 3+4m } \right )x-3m=0 $ $ ⇔x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } +3x-m\left ( { x ^ { 2 } -4x+3 } \right )=0 \\ ⇔x\left ( { x ^ { 2 } -4x+3 } \right )-m\left ( { x ^ { 2 } -4x+3 } \right )=0 \\ ⇔\left ( { x-m } \right )\left ( { x-1 } \right )\left ( { x-3 } \right )=0 $ $ ⇔\left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=3 \\ x=m \end{array} \right. $ Ba nghiệm lập thành 1 cấp số nhân nên ba số $ 1;3;m $lập thành 1 cấp số nhân Th1: Nếu 3 số hạng của cấp số nhân có hạng tử ở giữa là $ 1 ⇔1 ^ { 2 } =3m⇔m=\frac { 1 } { 3 } $ Th2: Nếu 3 số hạng của cấp số nhân có hạng tử ở giữa là $ 3 ⇔3 ^ { 2 } =1.m⇔m=9 $ Th3: Nếu 3 số hạng của cấp số nhân có hạng tử ở giữa là $ m $ $ ⇔m ^ { 2 } =1.3⇔m=±\sqrt[] { 3 } $. Vậy $ S=\left\{-\sqrt[] { 3 };\frac { 1 } { 3 };\sqrt[] { 3 };9\right\} $hay là tập hợp $ S $có 4 phần tử.