Một con cá bơi ngược dòng để vượt khoảng cách $250 \text{ km}$. Vận tốc dòng nước là $5 \text{ km/h}$. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là $v \text{ (km/h)}$ thì năng lượng tiêu hao của cá trong $t$ giờ được cho bởi công thức $E(v) = cv^{3}t$, trong đó $c$ là một hằng số và năng lượng $E$ tính bằng Jun. Khi vận tốc bơi của cá nằm trong khoảng $(m; n)$ lớn nhất ($m, n$ là số nguyên hoặc là phân số tối giản) thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Tính $m + 2n$.

Lời giải Vận tốc của cá khi bơi ngược dòng nước là $v - 5 \text{ (km/h)}$. Điều kiện: $v > 5$. Thời gian để cá vượt qua quãng đường $250 \text{ km}$ là: $$ t = \frac{250}{v - 5} $$ Năng lượng tiêu hao của cá để vượt qua quãng đường đó là: $$ E(v) = cv^{3} \cdot \frac{250}{v - 5} = 250c \cdot \frac{v^{3}}{v - 5} $$ Ta có: $$ E'(v) = 250c \cdot \frac{3v^{2}(v - 5) - v^{3}}{(v - 5)^{2}} = 250c \cdot \frac{3v^{3} - 15v^{2} - v^{3}}{(v - 5)^{2}} = 250c \cdot \frac{2v^{3} - 15v^{2}}{(v - 5)^{2}} $$ Cho $E'(v) = 0$: $$ 2v^{3} - 15v^{2} = 0 \Leftrightarrow v^{2}(2v - 15) = 0 \Leftrightarrow v = \frac{15}{2} \quad (\text{do } v > 5) $$ Bảng biến thiên cho thấy năng lượng tiêu hao giảm trên khoảng $\left( 5; \frac{15}{2} \right)$. Vậy $m = 5; n = \frac{15}{2} \Rightarrow m + 2n = 5 + 2 \cdot \frac{15}{2} = 20$.