Cho tứ diện $ ABCD $ có $ AB,AC,AD $ đôi một vuông góc với nhau. Biết rằng $ AB=AC=a,AD=a\sqrt[] { 3 } $.

a) Đúng. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} AC⊥AB \\ AC⊥AD \\ \end{array} ⇒AC⊥(ABD) \end{array} \right. $. b) Đúng. Khi đó $ AD $ là hình chiếu của $ CD $ trên $ (ABD) $. Ta có: $ (CD,(ABD))=(CD,AD)= \widehat { CDA } $. Tam giác $ ACD $ vuông tại $ A $ có: $ \tan \widehat { CDA }=\frac { AC } { AD }=\frac { a } { a\sqrt[] { 3 } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }⇒ \widehat { CDA }=30 ^ { ° } $. Vậy $ (CD,(ABD))= \widehat { CDA }=30 ^ { ° } $. c) Sai Gọi $ M $ là trung điểm $ BC $ thì $ AM⊥BC $ (do $ AB=AC $). $ { \rm{ Vì } }\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} AD⊥AB \\ AD⊥AC \\ \end{array} \end{array} \right. \\ ⇒AD⊥(ABC) \\ ⇒AD⊥BC. $ Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} BC⊥AM \\ BC⊥AD \\ \end{array} \end{array} \right. ⇒BC⊥(ADM) ⇒BC⊥DM{ \rm{ . } } $ Khi đó: $ (AM,DM)= \widehat { AMD } $ là góc phẳng nhị diện $ [A,BC,D] $. Tam giác $ ABC $ vuông cân tại $ A $ nên đường cao $ AM=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $. Tam giác $ ADM $ vuông tại $ A $ có: $ \tan \widehat { AMD }=\frac { AD } { AM }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } }=\sqrt[] { 6 }⇒ \widehat { AMD }≈67,79 ^ { ° } $ d) Đúng. Vì $ AB⊥AC,AB⊥AD $ nên $ (AC,AD)= \widehat { CAD } $ là góc phẳng nhị diện $ [C,AB,D] $ và $ \widehat { CAD }=90 ^ { ° } $