Để tích lũy tiền cho việc học đại học của con gái, cô Thảo quyết định hằng tháng bỏ ra 500 nghìn đồng vào tài khoản tiết kiệm, được trả lãi $ 0,5{ \rm{ \% } } $ cộng dồn hằng tháng. Cô bắt đầu chương trình tích luỹ này khi con gái cô tròn 4 tuổi. Cô ấy sẽ tích luỹ được bao nhiêu tiền vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180? Lúc này con gái cô Thảo bao nhiêu tuổi?

Gọi $ u_{ n } $ là số triệu đồng mà cô Thảo có trong chương trình tích luỹ ở lần gửi thứ $ n $ (vào đầu tháng thứ $ n $). Kí hiệu $ a=0,5 $ triệu đồng, $ r=0,5{ \rm{ \% } } $. Số tiền của cô Thảo trong chương trình ở đầu tháng 1 là $ u_{ 1 } =a $. Số tiền của cô Thảo trong chương trình ở đầu tháng 2 là $ u_{ 2 } =u_{ 1 } \left ( { 1+r } \right )+a $. Số tiền của cô Thảo trong chương trình ở đầu tháng 3 là $ u_{ 3 } =u_{ 2 } \left ( { 1+r } \right )+a=a(1+r) ^ { 2 } +a\left ( { 1+r } \right )+a{ \rm{ .  } } $ Tương tự cho các tháng tiếp theo, suy ra số tiền của cô Thảo trong chương trình ở đầu tháng $ n $ là: $ u_{ n } =a\left ( { 1+r } \right ) ^ { n-1 } +a\left ( { 1+r } \right ) ^ { n-2 } +…+a\left ( { 1+r } \right )+a=a\frac { \left ( { 1+r } \right ) ^ { n } -1 } { \left ( { 1+r } \right )-1 }=a\frac { \left ( { 1+r } \right ) ^ { n } -1 } { r }{ \rm{ .  } } $ Vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180, cô ấy sẽ tích luỹ được $ u_{ 180 } =a\frac { \left ( { 1+r } \right ) ^ { 180 } -1 } { r }=145,41 $ (triệu đồng). Khi đó, tuổi của con gái cô Thảo là $ 4+180:12=19 $ tuổi.