Cho $ f\left ( { x } \right )=2 ^ { \frac { 1 } { x\left ( { x+1 } \right ) } } $. Biết rằng $ f\left ( { 1 } \right ).f\left ( { 2 } \right ).f\left ( { 3 } \right )...f\left ( { 2024 } \right )=2 ^ { \frac { m } { n } } $, với $ m $, $ n $ là các số tự nhiên và phân số $ \frac { m } { n } $ tối giản. Tính $ m+n $.

Đặt $ g\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { x\left ( { x+1 } \right ) }=\frac { 1 } { x }-\frac { 1 } { x+1 } $. Ta có $ g\left ( { 1 } \right )+g\left ( { 2 } \right )+g\left ( { 3 } \right )+...+g\left ( { 2024 } \right )=1-\frac { 1 } { 2 }+\frac { 1 } { 2 }-\frac { 1 } { 3 }+...+\frac { 1 } { 2024 }-\frac { 1 } { 2025 }=1-\frac { 1 } { 2025 }=\frac { 2024 } { 2025 } $. Khi đó $ f\left ( { 1 } \right ).f\left ( { 2 } \right ).f\left ( { 3 } \right )...f\left ( { 2024 } \right )=2 ^ { g\left ( { 1 } \right )+g\left ( { 2 } \right )+g\left ( { 3 } \right )+...+g\left ( { 2024 } \right ) } =2 ^ { \frac { 2024 } { 2025 } } $. Suy ra $ m=2024 $, $ n=2025 $. Vậy $ m+n=2024+2025=4049 $.