Cho bất phương trình $3x + 2y \ge 6$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Ta tiến hành kiểm tra tính đúng sai của từng mệnh đề như sau: - Mệnh đề a) **SAI**: Thay tọa độ cặp số $(-1; 1)$ vào vế trái của bất phương trình, ta được: $$3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 = -3 + 2 = -1$$ Vì $-1 \ge 6$ là một khẳng định sai, nên cặp số $(-1; 1)$ không phải là nghiệm của bất phương trình. - Mệnh đề b) **ĐÚNG**: Bất phương trình đề bài cho có dạng dấu "lớn hơn hoặc bằng" ($\ge$). Do đó, tất cả các điểm nằm trên đường thẳng ranh giới $3x + 2y = 6$ đều làm cho vế trái bằng $6$ (thỏa mãn dấu bằng xảy ra), nghĩa là chúng thuộc miền nghiệm. - Mệnh đề c) **ĐÚNG**: Để biểu diễn miền nghiệm, ta thực hiện các bước bài bản: + Bước 1: Vẽ đường thẳng bờ $\Delta: 3x + 2y = 6$ đi qua hai điểm cực trị trên trục tọa độ là $A(2; 0)$ và $B(0; 3)$. + Bước 2: Chọn gốc tọa độ $O(0; 0)$ làm điểm thử (rõ ràng $O \notin \Delta$). + Bước 3: Thay tọa độ $O(0; 0)$ vào bất phương trình, ta được $3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0 \ge 6$ (vô lý). Do đó, nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ $O$ bị gạch bỏ, tức không thuộc miền nghiệm. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng còn lại, kể cả đường thẳng bờ $3x + 2y = 6$. Vậy mệnh đề c) đúng. - Mệnh đề d) **ĐÚNG**: Vì miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa đường thẳng $3x + 2y = 6$ và không chứa gốc tọa độ $O$ (tức là $3x + 2y \ge 6$), nên khoảng cách $OM$ nhỏ nhất đạt được khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên đường thẳng $\Delta: 3x + 2y - 6 = 0$. Khi đó: $$OM_{\min} = d(O, \Delta) = \frac{|3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 6|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{6}{\sqrt{13}} = \frac{6\sqrt{13}}{13}$$ Vậy độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $OM$ bằng $\frac{6\sqrt{13}}{13}$.