Cho bất phương trình $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \le 0$ có miền nghiệm là phần không bị gạch như hình vẽ. Biết $(x_0; y_0) = (a; b)$ là nghiệm nguyên dương của bất phương trình trên. Tính giá trị của biểu thức $T = a + 2b$.

Ta tìm nghiệm nguyên dương $(a; b)$ của bất phương trình đã cho theo các bước sau: **Bước 1: Biến đổi bất phương trình** Quy đồng mẫu số hai vế với mẫu số chung là $6$, ta được bất phương trình tương đương: $$3x + 2y - 6 \le 0 \iff 3x + 2y \le 6$$ **Bước 2: Giới hạn miền giá trị của các ẩn số** Vì $a$ và $b$ là các số nguyên dương nên điều kiện bắt buộc là $a \ge 1$ và $b \ge 1$ (với $a, b \in \mathbb{Z}$). Do $a \ge 1$, ta thay vào bất phương trình để chặn giá trị của $b$ (tương ứng với ẩn $y$): $$3 \cdot (1) + 2y \le 6 \iff 2y \le 3 \iff y \le 1,5$$ Vì $y$ là số nguyên dương nên giá trị duy nhất thỏa mãn là $y = 1 \implies b = 1$. **Bước 3: Tìm giá trị của ẩn còn lại** Thay $y = 1$ ngược lại vào bất phương trình $3x + 2y \le 6$, ta thu được: $$3x + 2 \cdot 1 \le 6 \iff 3x \le 4 \iff x \le \frac{4}{3} \approx 1,33$$ Vì $x$ là số nguyên dương nên giá trị duy nhất thỏa mãn là $x = 1 \implies a = 1$. **Bước 4: Tính giá trị biểu thức T** Từ kết quả trên, cặp số nguyên dương duy nhất thỏa mãn là $(a; b) = (1; 1)$. Vậy $T = a + 2b = 1 + 2 \cdot 1 = 3$.