Cho hàm số $f(x) = \frac{ax^{2} + bx + c}{x - 1}$ có đồ thị $(C)$ và có bảng biến thiên bên dưới. Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận xiên $y = mx + n$. Tính tổng $S = m + n$

Lời giải Ta có $f'(x) = \frac{ax^{2} - 2ax - b - c}{(x - 1)^{2}}$. Từ bảng biến thiên, ta có hệ phương trình: $$ \begin{cases} f(-1) = -1 \\ f(3) = 7 \\ f'(-1) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{a - b + c}{-2} = -1 \\ \frac{9a + 3b + c}{2} = 7 \\ \frac{3a - b - c}{4} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a - b + c = 2 \\ 9a + 3b + c = 14 \\ 3a - b - c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1 \\ b = 1 \\ c = 2 \end{cases} $$ Suy ra hàm số là $f(x) = \frac{x^{2} + x + 2}{x - 1} = x + 2 + \frac{4}{x - 1}$. Xét thấy $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (x + 2)] = 0$, suy ra phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$ là $y = x + 2$. Khi đó $m = 1, n = 2 \Rightarrow m + n = 3$.