(THPT Triệu Sơn 1-Thanh Hóa 2025) Chọn ngẫu nhiên bốn số tự nhiên khác nhau từ $70$ số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để bốn số được chọn lập thành một cấp số nhân có công bội nguyên là $\frac{a}{b}$ (trong đó $a,b$ là các số tự nhiên và nguyên tố cùng nhau). Khi đó hãy làm tròn đến hàng đơn vị số $\frac{10^{5}a}{b}$.

Lời giải Xét phép thử “Chọn ngẫu nhiên bốn số tự nhiên khác nhau từ $70$ số nguyên dương đầu tiên”. Khi đó: $$ n(\Omega) = C_{70}^{4} = 916895 $$ Xét biến cố $A$: “Bốn số được chọn lập thành một cấp số nhân có công bội nguyên”. Gọi bốn số đó lần lượt là $a, aq, aq^{2}, aq^{3}$ ($q \in \mathbb{Z}^{+}$). Theo giả thiết $aq^{3} \leq 70$. Vì bốn số khác nhau và đều dương nên $0 < q \neq 1 \Rightarrow q \in \{2; 3; 4\}$. - TH1: $q=2 \Rightarrow a \cdot 2^{3} \leq 70 \Rightarrow 8a \leq 70 \Rightarrow a \leq 8$. Có $8$ bộ số. - TH2: $q=3 \Rightarrow a \cdot 3^{3} \leq 70 \Rightarrow 27a \leq 70 \Rightarrow a \leq 2$. Có $2$ bộ số. - TH3: $q=4 \Rightarrow a \cdot 4^{3} \leq 70 \Rightarrow 64a \leq 70 \Rightarrow a \leq 1$. Có $1$ bộ số. Vậy $n(A) = 8 + 2 + 1 = 11$. $$ P(A) = \frac{11}{916895} $$ Do đó: $$ \frac{10^{5} \cdot 11}{916895} \approx 1,199... \approx 1 $$