Cho S là tập hợp các số tự nhiên có $ 8 $ chữ số đôi một khác nhau lập từ $ 1,2,3,4,5,6,7,8 $. Xác suất để chọn được một số từ S mà chia hết cho $ 1111 $ là $ \frac { a } { b } $ với $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản. Tính $ b-a $.

Số phần tử của không gian mẫu : $ n\left ( { Ω } \right )=8! $ Gọi A là biến cố số được chọn chia hết cho $ 1111 $. Gọi số cần lập có dạng $ M=\overline{ a_{ 1 }a_{ 2 }a_{ 3 }a_{ 4 }a_{ 5 }a_{ 6 }a_{ 7 }a_{ 8 } } $, trong đó $ a_{ i }≠a_{ j } $ với $ i≠j $. Nhận xét tổng các số $ 1,2,3,4,5,6,7,8 $ là $ 36 $ nên $ M $ chia hết cho $ 9 $, do $ \left ( { 9,11 } \right )=1 $ nên $ M $ chia hết cho $ 9999 $. $ M=\overline{ a_{ 1 }a_{ 2 }a_{ 3 }a_{ 4 } }.10^{ 4 }+\overline{ a_{ 5 }a_{ 6 }a_{ 7 }a_{ 8 } }=9999.\overline{ a_{ 1 }a_{ 2 }a_{ 3 }a_{ 4 } }+\left ( { \overline{ a_{ 1 }a_{ 2 }a_{ 3 }a_{ 4 } }+\overline{ a_{ 5 }a_{ 6 }a_{ 7 }a_{ 8 } } } \right ) $ Do $ M $ chia hết cho 9999 nên $ \overline{ a_{ 1 }a_{ 2 }a_{ 3 }a_{ 4 } }+\overline{ a_{ 5 }a_{ 6 }a_{ 7 }a_{ 8 } } $ chia hết cho 9999. $ a_{ i } ∈\left\{1;2;3;...;8\right\} $ nên $ 0<\overline{ a_{ 1 }a_{ 2 }a_{ 3 }a_{ 4 } }+\overline{ a_{ 5 }a_{ 6 }a_{ 7 }a_{ 8 } }<2.9999 $, từ đó $ \overline{ a_{ 1 }a_{ 2 }a_{ 3 }a_{ 4 } }+\overline{ a_{ 5 }a_{ 6 }a_{ 7 }a_{ 8 } }=9999 $. Với mỗi cách chọn $ a_{ i } $ sẽ có duy nhất cách chọn $ a_{ i+4 } $ sao cho $ a_{ i } +a_{ i+4 } =9 $ với $ i∈{ \rm{ \{1,2,3,4\} } } $. Chọn $ a_{ 1 } $ có $ 8 $ cách, chọn $ a_{ 2 } $ có $ 6 $ cách, chọn $ a_{ 3 } $ có $ 4 $ cách, chọn $ a_{ 4 } $ có $ 2 $ cách. Số phần tử của biến cố $ A $ là $ n\left ( { A } \right )=8.6.4.2 $. Xác suất để lập được số chia hết cho 1111 là: $ \frac { 8.6.4.2 } { 8! }=\frac { 1 } { 105 } $. Vậy $ b-a=104 $.