Cho $ ΔABC $ có trọng tâm $ G(-2;-1) $, $ AB:4x+y+15=0 $, $ AC:2x+5y+3=0 $. Phương trình đường cao $ AH:ax+by+c=0 $ với $ \left ( { a;b;c } \right )=1 $. Khi đó $ a+b+c $ bằng bao nhiêu

Tọa độ điểm $ A=AB∩AC $ là nghiệm của hệ $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 4x+y+15=0 \\ 2x+5y+3=0 \\ \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=-4 \\ y=1 \\ \end{array} ⇒A(-4;1) \end{array} \right. \end{array} \right. $ $ B∈AB:y=-4x-15⇒B\left ( { x_{ B } ;\;-4x_{ B } -15 } \right ) $; $ C∈AC:y=\frac { -2x-3 } { 5 }⇒C\left ( { x_{ C } ;\frac { -2x_{ C } -3 } { 5 } } \right ). $ $ G $ là trọng tâm $ ΔABC⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x_{ A } +x_{ B } +x_{ C } =3x_{ G } \\ y_{ A } +y_{ B } +y_{ C } =3y_{ G } \\ \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} -4+x_{ B } +x_{ C } =3(-2) \\ -1-4x_{ B } -15+\frac { -2x_{ C } -3 } { 5 }=-3 \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. $ $ ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x_{ B } =-3 \\ x_{ C } =1 \\ \end{array} ⇒B(-3;-3),C(1;-1). \end{array} \right. $ Phương trình đường cao $ AH: $ qua $ A(-4;1) $, có vtpt $ \overset\rightarrow { n }_{ AH } =\overset\rightarrow { BC }=\left ( { 4;2 } \right )=2\left ( { 2;1 } \right ) $là $ AH:2x+y+7=0 $ Vậy $ a+b+c=2+1+7=10 $