Đúng/Sai · Câu 35
Xét trên một khu vực biển khá nhỏ, ta xem mặt biển là một mặt phẳng và thiết lập hệ trục tọa độ $Oxy$, với mỗi đơn vị trên các trục ứng với $1$ km. Ba hòn đảo $A, B, C$ có vị trí thỏa mãn $A(0; 2)$, $\vec{AB} = (18; 24)$ và $\vec{AC} = (6; 3)$. Một chiếc tàu chở khách du lịch di chuyển thẳng từ đảo $A$ đến đảo $B$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Đúng
- d. Đúng
Lời giải
a) Đúng: Khoảng cách giữa hai đảo $A$ và $B$ là $AB = |\vec{AB}| = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{900} = 30$ (km).
b) Sai: Gọi tọa độ đảo $C$ là $C(x_C; y_C)$. Vì $A(0; 2)$ và $\vec{AC} = (6; 3)$ nên ta có: $\begin{cases} x_C - 0 = 6 \\ y_C - 2 = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_C = 6 \\ y_C = 5 \end{cases} \Rightarrow C(6; 5)$.
c) Đúng: Đường thẳng $AB$ có vectơ chỉ phương $\vec{AB} = (18; 24)$, chọn $\vec{u}_1 = (3; 4)$. Đường thẳng $AC$ có vectơ chỉ phương $\vec{AC} = (6; 3)$, chọn $\vec{u}_2 = (2; 1)$. Góc $\alpha$ giữa hai đường thẳng thỏa mãn:
$\cos\alpha = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{|3 \cdot 2 + 4 \cdot 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2} \cdot \sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{10}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
d) Đúng: Quỹ đạo chuyển động của tàu là đoạn thẳng $AB$. Đường thẳng $AB$ đi qua $A(0; 2)$ và nhận $\vec{n} = (4; -3)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình tổng quát: $4(x - 0) - 3(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 6 = 0$.
Khoảng cách từ điểm $C(6; 5)$ đến đường thẳng $AB$ là: $d(C, AB) = \frac{|4 \cdot 6 - 3 \cdot 5 + 6|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{15}{5} = 3$ (km).
Vì hình chiếu vuông góc của $C$ trên đường thẳng $AB$ nằm thuộc đoạn thẳng $AB$ nên khoảng cách ngắn nhất từ tàu đến đảo $C$ trong quá trình di chuyển bằng $3$ km.