Cho hình vuông $ ABCD $ có đỉnh $ A\left ( { -4;5 } \right ) $ và một đường chéo nằm trên đường thẳng có phương trình: $ \left ( { d } \right ):7x-y+8=0 $.

a) Sai. Trục $ Oy $ có vectơ pháp tuyến là: $ i\,\left ( { 1\,;\,0 } \right ) $ Cosin của góc giữa đường thẳng $ \left ( { d } \right ) $ và trục $ Oy $ là: $ \cos\left ( { d\,;\,Oy } \right )=\frac { \left | { 7.1 } \right | } { \sqrt[] { 50 }.1 }=\frac { 7\sqrt[] { 50 } } { 50 } $. b) Đúng. Nhận thấy đường chéo $ \left ( { d } \right ) $ không đi qua điểm $ A $ nên $ \left ( { d } \right ):7x-y+8=0 $ là đường chéo $ BD $. c) Đúng. Theo tính chất của hình vuông ta có góc giữa đường thẳng $ \left ( { d } \right ) $ cạnh $ AD $ bằng $ 45 ^ { \circ } $. d) Sai. Phương trình đường thẳng $ Δ $ đi qua $ A $ có dạng : $ a\left ( { x+4 } \right )+b\left ( { y-5 } \right )=0 $ $ \left ( { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } ≠0 } \right ) $ $ Δ $ hợp với $ BD $ một góc $ 45 ^ { \circ } $ $ ⇔\frac { \left | { 7a-b } \right | } { \sqrt[] { 50 }\sqrt[] { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } } }=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }⇔2\left | { 7a-b } \right |=\sqrt[] { 2 }.\sqrt[] { 50 }\sqrt[] { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } }⇔\left | { 7a-b } \right |=5\sqrt[] { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } } $ $ ⇔49a ^ { 2 } -14ab+b ^ { 2 } =25a ^ { 2 } +25b ^ { 2 } ⇔24a ^ { 2 } -14ab-24b ^ { 2 } =0 \\ ⇔24\left ( { \frac { a } { b } } \right ) ^ { 2 } -14\frac { a } { b }-24=0⇔\left[\begin{array}{l} \frac { a } { b }=\frac { 4 } { 3 } \\ \frac { a } { b }=-\frac { 3 } { 4 } \end{array}\right. $ $ ⇒\left[\begin{array}{l} a=3,b=-4 \\ a=4,b=3 \end{array}\right. $ $ \left ( { AB } \right ):3x-4y+32=0 $, $ \left ( { AD } \right ):4x+3y+1=0 $ và ngược lại. Vì hoành độ đỉnh $ B $ của hình vuông là một số âm nên $ AB:4x+3y+1=0 $. Tọa độ đỉnh $ B $ của tam giác $ ABC $ là nghiệm của hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 4x+3y+1=0 \\ 7x-y+8=0 \\ \end{array} \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=-1 \\ y=1 \\ \end{array} \end{array} \right. $ $ ⇒B\left ( { -1;1 } \right ) $.