Có một ao cá có dạng hình chữ nhật $ ABCD $ với chiều dài $ AD=100{ \rm{ } }m, $ chiều rộng $ AB=50m $. Trong ao có một cái chòi ở vị trí điểm $ M $. Khoảng cách từ $ M $ đến $ AB $ là $ 5\,m $, khoảng cách từ $ M $ đến $ AD $ là $ 10\,m $. Người ta muốn làm một cây cầu đi qua $ M $ và nối với hai bờ $ AB $ và $ AD $ tạo thành một tam giác vuông cân $ AEF $. Chọn hệ trục toạ độ $ Oxy $ có điểm $ O $ trùng với điểm $ A $, các tia $ Ox,Oy $ tương ứng trùng với các tia $ AD $, $ AB $. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng $ Oxy $ tương ứng 1 mét trên thực tế. Tính khoảng cách ngắn nhất từ trung điểm $ I $ của $ BC $ đến một điểm cây cầu. (làm tròn đến một chữ số thập phân)

Ta có tọa độ các điểm là $ A\left ( { 0;0 } \right ),\,\,B\left ( { 0;50 } \right ),\,\,C\left ( { 100;50 } \right ),D\left ( { 100;0 } \right ),I\left ( { 50;50 } \right ) $. Gọi $ E\left ( { 0;b } \right ) $, $ F\left ( { a;0 } \right ) $. Phương trình đường thẳng $ EF $ là $ \frac { x } { a }+\frac { y } { b }=1 $. Có tam giác $ AEF $ vuông cân và $ M∈EF $ nên $ \left \{ \begin{array}{l} a=b \\ \frac { 5 } { a }+\frac { 10 } { a }=1 \end{array} \right.\Rightarrow a=b=15 $. Suy ra phương trình đường thẳng $ EF $ là $ x+y-15=0 $. Khoảng cách từ trung điểm $ I $ của $ BC $ đến một điểm cây cầu ngắn nhất chính là khoảng cách từ $ I $ đến $ EF $ bằng $ d\left ( { I,EF } \right )=\frac { \left | { 50+50-15 } \right | } { \sqrt[] { 2 } }=\frac { 85\sqrt[] { 2 } } { 2 }≈60,1 $ (m).