Cho tứ diện $ ABCD $ có $ AB=2AC=4AD $. Gọi $ O $, $ O' $ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $ ABC $ và $ ABD $. Tính tỉ số $ k=\frac { BC } { BD } $ khi $ OO'{ \rm{ // } }\left ( { BCD } \right ) $.

Trong mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $: Giả sử $ AO $ và $ BC $ cắt nhau tại điểm $ M $. Trong mặt phẳng $ \left ( { ABD } \right ) $: Giả sử $ AO' $ và $ BD $ cắt nhau tại điểm $ N $. Ta có: $ MN=\left ( { AOO' } \right )∩\left ( { BCD } \right ) $. Do đó: $ OO'{ \rm{ // } }\left ( { BCD } \right ) $ $ ⇔OO'{ \rm{ // } }MN $ $ ⇔\frac { AO } { OM }=\frac { AO' } { O'N } $ (1) Mặt khác theo tính chất đường phân giác ta có: + $ \frac { AO } { OM }=\frac { AB } { BM }=\frac { AC } { CM } ⇒\frac { AO } { OM }=\frac { AB+AC } { BM+CM }=\frac { AB+AC } { BC } $. + $ \frac { AO' } { O'M }=\frac { AB } { BN }=\frac { AD } { DN } ⇒\frac { AO' } { O'M }=\frac { AB+AD } { BN+DN }=\frac { AB+AD } { BD } $. Vậy đẳng thức (1) $ ⇔ $ $ \frac { AB+AC } { BC }=\frac { AB+AD } { BD } ⇔\frac { BC } { BD }=\frac { AB+AC } { AB+AD } $. Theo giả thiết: $ AB=2AC=4AD $ $ ⇒\frac { BC } { BD }=\frac { AB+\frac { 1 } { 2 }AB } { AB+\frac { 1 } { 4 }AB }=\frac { \frac { 3 } { 2 }AB } { \frac { 5 } { 4 }AB }=\frac { 6 } { 5 }=1,2 $. Trả lời: $ 1,2 $