Cho tứ diện $ABCD$. Các điểm $Q, N$ lần lượt là trung điểm cạnh $AB, CD$ và điểm $M$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $MB = 2MC$. Gọi $P$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNQ)$ và cạnh $AD$. Tính tỉ số $\frac{PA}{PD}$?

Lời giải Gọi $I$ là trung điểm của $BM$, ta có $BI = MI = MC$. Trong mặt phẳng $(BCD)$, gọi $S = MN \cap BD$. Trong mặt phẳng $(ABD)$, gọi $P = SQ \cap AD$. Xét tam giác $ICD$ có $MN$ là đường trung bình nên $ID \parallel MN$, suy ra $ID \parallel MS$. Xét tam giác $BMS$ có $ID \parallel MS$ và $I$ là trung điểm của $BM$, suy ra $D$ là trung điểm của $BS$. Xét tam giác $ABS$ có $SQ$ và $AD$ là các đường trung tuyến, do đó giao điểm $P$ chính là trọng tâm của tam giác $ABS$. Theo tính chất trọng tâm, ta có: $$ \frac{PA}{PD} = 2 $$ Vậy tỉ số $\frac{PA}{PD} = 2$.