Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tứ giác $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm $SB$, $N$ thuộc cạnh $SD$ sao cho $SN = 3ND$. Tìm tỉ số $\frac{PB}{PD}$ biết $P$ là giao điểm của $MN$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

Lời giải Trong mặt phẳng $(SBD)$, gọi $K = MN \cap BD$. Ta có $K \in MN$ và $K \in (ABCD)$ nên $K = MN \cap (ABCD)$, hay $K$ trùng với $P$. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $SBD$ với cát tuyến $MNP$, ta được: $$ \frac{MS}{MB} \cdot \frac{PD}{PB} \cdot \frac{NS}{ND} = 1 $$ $$ \Leftrightarrow 1 \cdot \frac{PD}{PB} \cdot 3 = 1 \Leftrightarrow \frac{PB}{PD} = 3 $$ Vậy tỉ số $\frac{PB}{PD} = 3$.