Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $BC, CD$ và $SO$. Gọi $K$ là giao điểm của $SA$ với mặt phẳng $(MNP)$. Tính $\frac{AK}{AS}$.

Lời giải Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $H = MN \cap AO$. Khi đó trong mặt phẳng $(SAC)$, gọi $K = PH \cap SA$. Vì tam giác $BCD$ có $MN$ là đường trung bình nên $H$ là trung điểm của $OC$. Do đó: $$ \frac{AH}{AC} = \frac{3}{4} $$ Mặt khác, xét tam giác $OSC$ có $P$ là trung điểm $SO$ và $H$ là trung điểm $OC$ nên $PH$ là đường trung bình của tam giác $OSC$. $$ \Rightarrow HK \parallel SC $$ Xét tam giác $ASC$, vì $HK \parallel SC$ nên áp dụng định lý Thales ta có: $$ \frac{AK}{AS} = \frac{AH}{AC} = \frac{3}{4} = 0,75 $$ Vậy $\frac{AK}{AS} = 0,75$.