Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $CD$ và $SD$. Biết rằng mặt phẳng $(BMN)$ cắt đường thẳng $SA$ tại $P$. Tính tỉ số $\frac{SA}{SP}$.

Lời giải Chọn mặt phẳng phụ $(SAC)$ chứa $SA$. Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $Q = AC \cap BM$. Ta có $MN \parallel SC$ (do $MN$ là đường trung bình của tam giác $SCD$), mà $SC \subset (SAC)$ nên $MN \parallel (SAC)$. Suy ra giao tuyến của mặt phẳng $(BMN)$ và $(SAC)$ là đường thẳng đi qua $Q$ và song song với $SC$. Đường thẳng này cắt $SA$ tại $P$. $$ \Rightarrow P = SA \cap (BMN) $$ Trong đáy $ABCD$, xét tam giác $BCD$ có $BM$ và $CO$ là hai đường trung tuyến nên $Q$ là trọng tâm tam giác $BCD$. $$ \Rightarrow CQ = \frac{2}{3}CO = \frac{1}{3}CA \Rightarrow AQ = \frac{2}{3}AC $$ Xét tam giác $ASC$ có $PQ \parallel SC$, theo định lý Thales: $$ \frac{AP}{AS} = \frac{AQ}{AC} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{SP}{SA} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{SA}{SP} = 3 $$ Vậy $\frac{SA}{SP} = 3$.