Một ngôi nhà gồm hai phần. Phần thân nhà dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.OMNK$ có chiều dài $1200\text{ cm}$, chiều rộng $900\text{ cm}$, chiều cao $450\text{ cm}$. Phần mái nhà dạng hình chóp $S.ABCD$ có các cạnh bên bằng nhau và tạo với mặt đáy góc $\alpha$ với $\tan\alpha = \frac{1}{5}$. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ sao cho $M$ thuộc tia $Ox$, $K$ thuộc tia $Oy$, $A$ thuộc tia $Oz$ (như hình vẽ). Biết $S(a; b; c)$ (đơn vị của $a, b, c$ là centimet). Tính giá trị của biểu thức $P = a + b + c$.

Lời giải Gọi $I, J$ lần lượt là tâm của hai đáy $ABCD, OMNK$. Vì $S.ABCD$ có các cạnh bên bằng nhau nên $SI \perp (ABCD) \Rightarrow SI \perp (Oxy)$. Theo giả thiết ta có $IJ \perp (Oxy) \Rightarrow S \in IJ$. Lại có $\alpha = \widehat{SCI}$, $ON = AC = \sqrt{900^2 + 1200^2} = 1500 \Rightarrow CI = \frac{1}{2}AC = 750$. Từ đó suy ra: $$ SI = CI \cdot \tan\alpha = 750 \cdot \frac{1}{5} = 150 \Rightarrow SJ = SI + IJ = 150 + 450 = 600. $$ Vì $J$ là tâm của hình chữ nhật $OMNK$ nên tọa độ hình chiếu của $S$ xuống mặt phẳng $(Oxy)$ chính là tọa độ điểm $J(450; 600; 0)$. Do đó $S(450; 600; 600)$. Vậy $P = a + b + c = 450 + 600 + 600 = 1650$.