Biết rằng đồ thị $(H): y = \frac{x^{2} + 2x + m}{x - 2}$ (với $m$ là tham số thực) có hai điểm cực trị là $A, B$. Hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường thẳng $AB$.

Question

Beedemy · Accepted Answer

A. $\frac{2}{\sqrt{5}}$ Lời giải: Lời giải Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. Ta có: $$ y = \frac{x^{2} + 2x + m}{x - 2} = x + 4 + \frac{m + 8}{x - 2} $$ Đạo hàm: $$ y' = 1 - \frac{m + 8}{(x - 2)^{2}} $$ Khi đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị được xác định bằng phần dư khi chia tử cho mẫu: $$ y = x + 4 + \frac{m + 8}{x - 2} $$ Với các điểm cực trị $A, B$, ta có: $$ y = 2x + 2 \Leftrightarrow 2x - y + 2 = 0 $$ Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường thẳng $AB$ là: $$ d(O, AB) = \frac{|2 \cdot 0 - 0 + 2|}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{5}} $$

Biết rằng đồ thị $(H): y = \frac{x^{2} + 2x + m}{x - 2}$ (với $m$ là tham số thực) có hai điểm cực trị là $A, B$. Hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường thẳng $AB$.

Cùng dạng: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức y = (ax+b)/(cx+d)