Tìm hệ số của $ x ^ { 2 } $ trong khai triển $ P(x)=(2x ^ { 2 } -\frac { 1 } { x }) ^ { 4 } +(1-3x) ^ { 5 } $.

Áp dụng khai triển hệ thức Newton ta được: $ \left ( { 2x ^ { 2 } -\frac { 1 } { x } } \right ) ^ { 4 } =C_{ 4 } ^{ 0 }.(2x ^ { 2 } ) ^ { 4 } +C_{ 4 } ^{ 1 }.\left ( { 2x ^ { 2 } } \right ) ^ { 3 } .\left ( { \frac { -1 } { x } } \right )+C_{ 4 } ^{ 2 }.\left ( { 2x ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } .\left ( { \frac { -1 } { x } } \right ) ^ { 2 } +C_{ 4 } ^{ 3 }.\left ( { 2x ^ { 2 } } \right ) ^ { 1 } .\left ( { \frac { -1 } { x } } \right ) ^ { 3 } +C_{ 4 } ^{ 4 }.\left ( { \frac { -1 } { x } } \right ) ^ { 4 } $ $ =1.2 ^ { 4 } .x ^ { 8 } +4.2 ^ { 3 } .x ^ { 6 } .\left ( { \frac { -1 } { x } } \right )+6.2 ^ { 2 } .x ^ { 4 } .\frac { 1 } { x ^ { 2 } }+4.2.x ^ { 2 } .\left ( { \frac { -1 } { x ^ { 3 } } } \right )+\frac { 1 } { x ^ { 4 } } $ $ =16x ^ { 8 } -32x ^ { 5 } +24x ^ { 2 } -\frac { 8 } { x }+\frac { 1 } { x ^ { 4 } } $. $ (1-3x) ^ { 5 } =C_{ 5 } ^{ 0 }.1 ^ { 5 } +C_{ 5 } ^{ 1 }.1 ^ { 4 } .(-3x) ^ { 1 } +C_{ 5 } ^{ 2 }.1 ^ { 3 } .(-3x) ^ { 2 } +C_{ 5 } ^{ 3 }.1 ^ { 2 } .(-3x) ^ { 3 } +C_{ 5 } ^{ 4 }.1 ^ { 1 } .(-3x) ^ { 4 } +C_{ 5 } ^{ 5 }.\left ( { -3x } \right ) ^ { 5 } $ $ =1-15x+90x ^ { 2 } -270x ^ { 3 } +405x ^ { 4 } -243x ^ { 5 } $. Khi đó $ P(x)=16x ^ { 8 } -275x ^ { 5 } +405x ^ { 4 } -270x ^ { 3 } +114x ^ { 2 } -15x-\frac { 8 } { x }+\frac { 1 } { x ^ { 4 } }+1 $. Vậy hệ số của $ x ^ { 2 } $ là 114.