Với $ n $ là số nguyên dương, gọi $ a_{ 3n-3 } $ là hệ số của $ x ^ { 3n-3 } $ trong khai triển thành đa thức của $ f\left ( { x } \right )=\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) ^ { n } \left ( { x+2 } \right ) ^ { n } $. Tìm $ n $ để $ a_{ 3n-3 } =26n $.

Xét $ f\left ( { x } \right )=\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) ^ { n } \left ( { x+2 } \right ) ^ { n } =\left ( { ∑ \limits_{ k=0 } ^ n { C_{ n } ^{ k }x ^ { 2n-2k } } } \right )\left ( { ∑ \limits_{ i=0 } ^ n { C_{ n } ^{ i }x ^ { n-i } 2 ^ { i } } } \right ) =∑ \limits_{ k=0 } ^ n { \left ( { ∑ \limits_{ i=0 } ^ n { C_{ n } ^{ k }C_{ n } ^{ i }2 ^ { i } x ^ { 3n-2k-i } } } \right ) } $, $ \left ( { 0≤i,k≤n } \right ) $. Yêu cầu bài toán $ ⇔3n-\left ( { 2k+i } \right )=3n-3 ⇔2k+i=3 ⇔\left[ k=i=1 \ k=0,\,\,i=3 \right. $ $ ⇒a_{ 3n-3 } =2C_{ n } ^{ 1 }C_{ n } ^{ 1 }+2 ^ { 3 } C_{ n } ^{ 0 }C_{ n } ^{ 3 }=26n⇔n=5 $.