Cho $ x,y∈\left ( { 0;\frac { π } { 2 } } \right ) $ thỏa $ \cos2x+\cos2y+2\sin(x+y)=2 $. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ P=\frac { \sin ^ { 4 } x } { y }+\frac { \cos ^ { 4 } y } { x } $.

Question

Beedemy · Accepted Answer

B. $ minP=\frac { 2 } { π } $ Lời giải: Ta có: $ \cos2x+\cos2y+2\sin(x+y)=2⇔\sin ^ { 2 } x+\sin ^ { 2 } y=\sin(x+y) $ Suy ra: $ x+y=\frac { π } { 2 } $ Áp dụng bđt: $ \frac { a ^ { 2 } } { m }+\frac { b ^ { 2 } } { n }≥\frac { (a+b) ^ { 2 } } { m+n } $ Suy ra: $ P≥\frac { \left ( { \sin ^ { 2 } x+\sin ^ { 2 } y } \right ) ^ { 2 } } { x+y }=\frac { 2 } { π } $. Đẳng thức xảy ra $ ⇔x=y=\frac { π } { 4 } $. Do đó: $ minP=\frac { 2 } { π } $.

Cho $ x,y∈\left ( { 0;\frac { π } { 2 } } \right ) $ thỏa $ \cos2x+\cos2y+2\sin(x+y)=2 $. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ P=\frac { \sin ^ { 4 } x } { y }+\frac { \cos ^ { 4 } y } { x } $.

Cùng dạng: Tập xác định và tập giá trị của hàm số lượng giác