Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P=\cot ^ { 4 } a+\cot ^ { 4 } b+2\tan ^ { 2 } a.\tan ^ { 2 } b+2 $

$ P=\left ( { \cot ^ { 2 } a-\cot ^ { 2 } b } \right ) ^ { 2 } +2\cot ^ { 2 } a.\cot ^ { 2 } b+2\tan ^ { 2 } a.\tan ^ { 2 } b+2 $ $ =\left ( { \cot ^ { 2 } a-\cot ^ { 2 } b } \right ) ^ { 2 } +2\left ( { \cot ^ { 2 } a.\cot ^ { 2 } b+\tan ^ { 2 } a.\tan ^ { 2 } b-2 } \right )+6 $ $ =\left ( { \cot ^ { 2 } a-\cot ^ { 2 } b } \right ) ^ { 2 } +2\left ( { \cot ^ { 2 } a.\cot ^ { 2 } b+\tan ^ { 2 } a.\tan ^ { 2 } b-2cota.cotb.tana.tanb } \right )+6 $ $ =\left ( { \cot ^ { 2 } a-\cot ^ { 2 } b } \right ) ^ { 2 } +2\left ( { cota.cotb-tana.tanb } \right ) ^ { 2 } +6≥6 $ Dấu bằng xảy ra khi $ \left \{ \begin{array}{l} \cot ^ { 2 } a=\cot ^ { 2 } b \\ cota.cotb=tana.tanb \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} \cot ^ { 2 } a=1 \\ \cot ^ { 2 } b=1 \end{array} \right. $ $ ⇔a=b=\frac { π } { 4 }+\frac { kπ } { 2 }\,\left ( { k∈\mathbb{Z} } \right ) $. Vậy giá trị nhỏ nhất của $ P $ là $ 6 $.