Cho $ x,y,z0 $ và $ x+y+z=\frac { π } { 2 } $. Tìm giá trị lớn nhất của $ y=\sqrt[] { 1+tanx.tany }+\sqrt[] { 1+tany.tanz }+\sqrt[] { 1+tanz.tanx } $

Question

Cho $ x,y,z>0 $ và $ x+y+z=\frac { π } { 2 } $. Tìm giá trị lớn nhất của $ y=\sqrt[] { 1+tanx.tany }+\sqrt[] { 1+tany.tanz }+\sqrt[] { 1+tanz.tanx } $

Beedemy · Accepted Answer

D. $ y_{ \max } =2\sqrt[] { 3 } $ Lời giải: Ta có $ x+y+z=\frac { π } { 2 }⇔x+y=\frac { π } { 2 }-z⇒	an\left ( { x+y } ight )=	an\left ( { \frac { π } { 2 }-z } ight ) $ $ ⇔\frac { tanx+tany } { 1-tanx.tany }=\frac { 1 } { tanz } $ $ ⇔tanx.tanz+tany.tanz=1-tanx.tany $ $ ⇔tanx.tanz+tany.tanz+tanx.tany=1 $ Ta thấy $ tanx.tanz;\,\,tany.tanz;\,\,tanx.tany $ lần lượt xuất hiện trong hàm số đề cho dưới căn thức, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta có:$ 1.\sqrt[] { 1+tanx.tany }+1.\sqrt[] { 1+tany.tanz }+1.\sqrt[] { 1+tanz.tanx }≤ $ $ ≤\sqrt[] { 1 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } }.\sqrt[] { 1.tanx.tanz+1.\,tany.tanz+1.tanx.tany } = $ $ =\sqrt[] { 3 }\sqrt[] { 3+\left ( { tanx.tanz+\,tany.tanz+\,tanx.tany } ight ) }=2\sqrt[] { 3 } $ Vậy $ y_{ \max } =2\sqrt[] { 3 } $

Cho $ x,y,z>0 $ và $ x+y+z=\frac { π } { 2 } $. Tìm giá trị lớn nhất của $ y=\sqrt[] { 1+tanx.tany }+\sqrt[] { 1+tany.tanz }+\sqrt[] { 1+tanz.tanx } $

Cùng dạng: Tập xác định và tập giá trị của hàm số lượng giác