Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y = \sqrt{4 - m\sin x - (m+1)\cos x}$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$. Tính số phần tử của $S$.

Lời giải Hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi: $$4 - m\sin x - (m+1)\cos x \ge 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m\sin x + (m+1)\cos x \le 4, \forall x \in \mathbb{R}.$$ Điều này tương đương với việc giá trị lớn nhất của biểu thức $A = m\sin x + (m+1)\cos x$ phải nhỏ hơn hoặc bằng $4$. Theo điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác bậc nhất đối với sin và cos, ta luôn có: $$A \le \sqrt{m^2 + (m+1)^2} = \sqrt{2m^2 + 2m + 1}.$$ Yêu cầu bài toán tương đương với: $$\sqrt{2m^2 + 2m + 1} \le 4 \Leftrightarrow 2m^2 + 2m + 1 \le 16 \Leftrightarrow 2m^2 + 2m - 15 \le 0.$$ Xét phương trình $2m^2 + 2m - 15 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{-1 \pm \sqrt{31}}{2}$. Do đó tập nghiệm của bất phương trình là $\frac{-1 - \sqrt{31}}{2} \le m \le \frac{-1 + \sqrt{31}}{2} \approx 2,28$. Vì $m$ là các giá trị nguyên dương nên $m \in \{1; 2\}$. Vậy tập hợp $S$ có $2$ phần tử.