Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{m\sin x + 1}{\cos x + 2}$ nhỏ hơn 2?

Lời giải Chọn A. Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$ vì $\cos x + 2 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Ta có: $$y = \frac{m\sin x + 1}{\cos x + 2} \Leftrightarrow y\cos x + 2y = m\sin x + 1 \Leftrightarrow m\sin x - y\cos x = 2y - 1 \quad (*)$$ Phương trình $(*)$ có nghiệm khi và chỉ khi: $$m^2 + (-y)^2 \ge (2y - 1)^2 \Leftrightarrow m^2 + y^2 \ge 4y^2 - 4y + 1$$ $$\Leftrightarrow 3y^2 - 4y + 1 - m^2 \le 0$$ Giải bất phương trình trên theo biến $y$, ta được tập giá trị của hàm số là: $$\frac{2 - \sqrt{1 + 3m^2}}{3} \le y \le \frac{2 + \sqrt{1 + 3m^2}}{3}$$ Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số là $y_{\max} = \frac{2 + \sqrt{1 + 3m^2}}{3}$. Theo yêu cầu bài toán: $$y_{\max} < 2 \Leftrightarrow \frac{2 + \sqrt{1 + 3m^2}}{3} < 2 \Leftrightarrow 2 + \sqrt{1 + 3m^2} < 6$$ $$\Leftrightarrow \sqrt{1 + 3m^2} < 4 \Leftrightarrow 1 + 3m^2 < 16 \Leftrightarrow 3m^2 < 15 \Leftrightarrow m^2 < 5$$ Vì $m$ là tham số nguyên ($m \in \mathbb{Z}$) nên $m \in \{-2; -1; 0; 1; 2\}$. Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.